Você está tentando adicionar saída HDMI como parte de uma configuração de vários monitores? Na maioria das placas, uma das portas DVI e a porta HDMI compartilham componentes eletrônicos, de modo que apenas uma pode ser usada uma vez, portanto verifique duplamente os documentos da sua placa para ver se você precisa apenas reorganizar as conexões. Por instancia, se bem me lembro, todas as placas EyeFinity padrão são incapazes de saída para as portas HDMI e DVI de link único ao mesmo tempo (mas você pode usar a porta HDMI ao mesmo tempo que a porta DVI de link duplo e qualquer Conectores DisplayPort que você tem).
Como você trabalha via DVI, a menos que você precise de som para ser tocado na TV, eu ficaria com isso (a única diferença prática além do conector entre DVI e HDMI, a menos que você esteja tocando conteúdo DRMed, é que HDMI transporta sinais de áudio e vídeo.