Parece que sua "hospedagem regular" usa o Apaches mod_userdir para exibir arquivos. Este meens, você tem uma pasta abaixo da casa dos seus usuários (ou o que estiver configurado), chamado "public_html".
Se você quiser mudar para o seu servidor dedicado, você precisa primeiro instalar um servidor web, você não pode simplesmente criar uma pasta "public_html" e os arquivos serão exibidos!
Se você instalou um servidor web, seus arquivos HTML estão indo para o document_root configurado do seu site. Se você usa o Apache, isso é por padrão / var / www / (Debian / Ubuntu).
Cada pasta que você criar abaixo de / var / www estará acessível por meio de "yourdomain.com/folder".
Seu domínio A-Record tem que apontar para o novo servidor, é claro! Para conseguir isso, seu provedor geralmente tem uma interface, para configurar o DNS. Se você não conseguir configurar seu DNS sozinho, peça ajuda ao seu provedor de hospedagem.