O que provavelmente está acontecendo é que o manipulador de correio para other_website.com não está realmente fazendo uma pesquisa de MX. Já tive hosts antes (HostGator e alguns outros) que primeiro fazem uma pesquisa de outros domínios anexados à conta e, em seguida, enviam o email diretamente para esse domínio sem realmente verificar o MX.
Eu consegui resolvê-lo definindo Remote Mail Exchanger
no painel de controle de registros MX do WHM. Se você não tiver acesso ao WHM ou equivalente, fale com o suporte sobre o problema. Deve haver alguma forma de sinalizar o domínio como "não hospedando e-mail", forçando uma pesquisa de MX.