Eu não acho que isso pode ser feito com o IMAP, a menos que o Tbird permita que você sincronize apenas determinadas tags. A natureza do IMAP é que ele mantém seu cliente em sincronia com o servidor em tempo real, o que impede ter alguns e-mails no servidor, mas não no cliente.
Você poderia fazer isso com o POP e a configuração "manter cópia no servidor" e excluir a cópia local, mas perderia sua funcionalidade de criptografia e rotulagem.