user637152 me colocou no caminho certo com a edição de /etc/hosts
127.0.0.1 thisbit.example.com
Que tinha coisas resolvendo para a pasta errada. Mas o modproxy não estava funcionando para mim.
No final, ocorreu-me que recebi um host virtual. Então eu configurei o Apache para lidar com isso. Agora eu possuo o domínio para este PC.
<VirtualHost thisbit.example.com:80>
ServerName thisbit.example.com
DocumentRoot //home/USER/public_html/FAKE.thisbit.example.com/
<Directory />
Options FollowSymLinks
AllowOverride All
</Directory>
<Directory /home/USER/public_html/FAKE.thisbit.example.com/>
Options -Indexes FollowSymLinks MultiViews
AllowOverride All
Order allow,deny
allow from all
</Directory>
</VirtualHost>