Há muitas maneiras de fazer isso, mas aqui está um exemplo geral:
Compacte o diretório public_html ou a pasta que contém seu site:
tar czvf site.tar.gz public_html/
faça o login no servidor FTP remoto (o processo de login pode variar dependendo do software usado - o host e as credenciais mudarão, obviamente, troque o localhost pelo seu servidor ftp remoto):
ftp localhost Name (localhost:john): john 331 User john okay, need password. Password: KERBEROS_V4 set as authentication type 230-You are user #12 of 50 simultaneous users allowed.
faça o upload dos seus arquivos:
put site.tar.gz
saia do servidor FTP:
bye