Router B is forming a new subnet
Tecnicamente, os roteadores não formam sub-redes. Tudo o que você precisa para fazer uma sub-rede são algumas máquinas que estão configuradas para a mesma máscara de sub-rede e conectadas ao mesmo switch - você realmente não precisa de um roteador se não quiser que este conjunto de máquinas converse com redes externas ou com o Internet.
É completamente possível (mas não é comum a todos sem VLANs) que mais de uma sub-rede esteja em um switch. O DHCP é frequentemente usado para definir automaticamente os computadores em um comutador para a mesma sub-rede - configurações de DHCP mais a configuração de IP / sub-rede do IP do seu roteador é o que "forma" a sub-rede na maioria das instâncias.
Router B is acting as a switch (no routing functionality at all)
O DHCP informa aos sistemas qual é o "gateway padrão" - e é para isso que o endereço IP para o qual os sistemas enviam tráfego é destinado à Internet. Se nenhum servidor DHCP estiver fornecendo o segundo IP do roteador e nenhum sistema tiver seu gateway padrão configurado para o segundo IP do roteador, nada será usado.
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A conexão de 2 comutadores (seja independente ou parte das portas "LAN" de um roteador) permite que todos os sistemas se encontrem se suas sub-redes coincidirem. O roteador não precisa ser avisado para que isso funcione, mas o servidor DHCP do roteador deve se você não quiser atribuir manualmente IPs e máscaras de sub-rede.
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Não, você não quer dois sistemas DHCP no mesmo comutador ou conjunto de comutadores conectados (a menos que estejam trabalhando juntos em uma configuração de failover)
If Router A is connected to home media server, should I set up my router as a switch or as a router?
É mais simples e fácil simplesmente usar o switch do roteador B e desabilitar o roteamento / DHCP (você pode não conseguir desabilitar o roteamento, mas deve quase sempre ser capaz de desabilitar o DHCP) no roteador B.
Sim, você pode conectar uma porta LAN do roteador A à porta de Internet do roteador B e fazer com que qualquer acesso aos sistemas "atrás" do roteador B passe pelo roteador B. A maioria dos roteadores suporta DHCP através de WAN ou Internet como é o trabalho de muitas empresas de cabo (a Comcast atribui à interface WAN do seu roteador um IP usando DHCP, por exemplo).
Você pode querer isso se
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você deseja proteger esses sistemas da LAN do roteador A usando as funções de firewall do roteador B.
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você quer tornar muito difícil (não impossível) para um sistema da Internet originar uma conexão com algo por trás do roteador B.
Isso normalmente é um exagero para o uso doméstico típico.
Dynamic routing
Isso é usado somente se o número de roteadores na sua rede puder mudar com o tempo. Ele permite que os roteadores encontrem outros roteadores. Você realmente só quer um roteador (fazendo roteamento / DHCP) na sua rede, se possível.