Resposta curta à sua última pergunta: não.
A pergunta do seu título provavelmente deve ser mudada - "Qual é o propósito de um modem com um roteador embutido?", já que o modem é a parte crítica, enquanto o roteador é apenas um ótimo aprimoramento.
Seus dispositivos têm uma interface de rede, não um modem. O modem conecta você com seu provedor de serviços de Internet (ISP). Ele é programado com todos os apertos de mão, login, senha, qualquer coisa que o provedor precise para entrar em sua rede.
Tomando um dispositivo como exemplo: No caso de um PC, a interface de rede é geralmente uma placa separada, ou uma "NIC", conectada à placa-mãe. Uma vez que o modem organiza a conexão com o ISP, a conexão mais simples é executar um cabo Ethernet diretamente da NIC do seu PC para o modem. Existem outras opções para incluir wireless (que também requer um cartão, capacidade extra na placa-mãe ou adaptador USB).
A conexão direta também é a menos segura. É aqui que entra o roteador.
Por segurança, um roteador de hardware é uma boa ideia ... mas não precisa ser uma caixa separada. Para ajudar a manter seus clientes mais seguros, muitos ISPs começaram a fornecer modems com um roteador embutido, especialmente quando ele é capaz de transmissão sem fio. Ou você pode comprá-los no varejo.
Eu gosto de ter um roteador separado, porque sou old-school, com máquinas operando cabos para as quatro portas normalmente oferecidas. Os modems, sejam equipados com um roteador ou não, geralmente têm apenas uma porta.