Você precisa alterar as permissões do sistema de arquivos montado, não do ponto de montagem quando o sistema de arquivos não estiver montado. Então, mount /var/lib/mysql
then chown mysql.mysql /var/lib/mysql
. Isto irá mudar as permissões da raiz do sistema de arquivos do MySQL.
A idéia básica é que o sistema de arquivos que contém o banco de dados precisa ser alterado, não o ponto de montagem, a menos que seu caminho tenha alguns problemas, por exemplo, lib
só pode ser lido por root.