Citando o link :
If proxy_pass is specified with URI, when passing a request to the server, part of a normalized request URI matching the location is replaced by a URI specified in the directive:
location /name/ { proxy_pass http://127.0.0.1/remote/; }
Ou seja, você precisa usar proxy_pass
da seguinte forma:
location /site1/ {
proxy_pass http://localhost:8081/;
...
}
Observe o /
à direita na diretiva proxy_pass
- ele substituirá parte do URI original correspondido pelo local, ou seja, /site1/
.