A maneira mais fácil de fazer isso é evitar o uso do exim e usar o sSMTP, que é um MTA leve.
Tudo o que você precisa fazer é instalá-lo:
sudo apt-get install ssmtp mailutils
e configure-o (edite /etc/ssmtp/ssmtp.conf) para usar seus servidores do Google Mail, consulte:
[email protected]
mailhub=smtp.gmail.com:587
UseSTARTTLS=yes
UseTLS=yes
[email protected]
AuthPass=password
FromLineOverride=YES
Eu tenho usado essa configuração há algum tempo e ela simplesmente funciona - Também é bom não precisar estar executando o exim quando não for necessário e deixar que os servidores de e-mail do Google lidem com tudo para você.