Se você realmente quiser usar o rsync, parece que você precisará de uma combinação de --backup, --backup-dir e --suffix. O mais próximo que eu acho que você pode conseguir é algo assim
rsync -abv --suffix R1 --remove-source-files src/ dst/
Isso seria próximo ao que você deseja, mas não renomearia os arquivos exatamente da maneira que você deseja. A opção --suffix anexa texto ao final de um arquivo existente, mas só faz isso para o primeiro conflito. Se você executá-lo novamente, ele substituirá seu primeiro backup. Você teria que alterar esse valor de sufixo toda vez que o comando fosse executado, o que funcionaria se você usasse algo com um timestamp, como este:
rsync -abv --suffix 'date +%Y%m%d%k%M%S' --remove-source-files src/ dst/
Não tenho certeza se isso é um exagero para o que você procura, mas deve atender aos seus requisitos.