Parece que quando o autossh cai para o segundo plano (opção -f) ele está mudando o diretório de trabalho, o que significa que os caminhos relativos não funcionam mais. Ou mais específico: Ao entrar no caminho absoluto do seu arquivo de id você provavelmente terá sucesso.
Eu recriar o cenário criando uma chave sem senha em um local não padrão:
~/$ mkdir test
~/$ cd test
~/test$ ssh-keygen -f test_id_rsa
Eu simplesmente pressiono enter duas vezes para gerar uma chave que não está protegida por uma senha.
copiei a nova chave para o meu servidor (o que permite a autenticação de senha atualmente):
~/test$ ssh-copy-id -i test_id_rsa user@server
Primeiro eu confirmei que a chave estava trabalhando com o ssh regular, então usando o autossh como você:
~/test$ ssh -i test_id_rsa user@server
~/test$ autossh -M 13000 -N -i test_id_rsa user@server
^C
Ambos funcionaram bem, então recriou o problema que você tinha:
~/test$ autossh -f -M 13000 -N -i test_id_rsa user@server
Isso não funcionou e o seguinte foi escrito em /var/log/syslog
:
autossh[2406]: ssh exited prematurely with status 255; autossh exiting
Ao mudar o caminho do arquivo de chaves para ser absoluto, funcionou:
~/test$ autossh -f -M 13000 -N -i /home/user/test/test_id_rsa user@server
Nenhum erro em /var/log/syslog
.