mysqldump retorna
0 for Success
1 for Warning
2 for Not Found
Também imprime uma mensagem de erro estendida para stderr, por exemplo
mysqldump: Got error: 1049: Unknown database 'dbname' when selecting the database
Você pode inspecionar o valor retornado assim
mysqldump -u DBuser -pDBpassword database >database.sql 2>database.err
if [ "$?" -eq 0 ]
then
echo "Success"
else
echo "Mysqldump encountered a problem look in database.err for information"
fi