Não, você não pode. O problema é que a resposta do DNS pode ser armazenada em qualquer lugar entre o usuário e o servidor DNS e não há como invalidá-los.
O que você pode fazer - assim que você tiver dados em sincronia e seu segundo site estiver pronto, você pode reconfigurar o servidor original para se comportar como um proxy e passar todas as solicitações para o novo local.
Dessa forma, você pode obter quase 0s de tempo de inatividade do seu site.
Atualizar
Se você não tem acesso root, há várias opções:
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Execute o proxy no PHP
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Configure o proxy no segundo servidor (se você tiver acesso root lá), alterne o DNS e, quando estiver pronto, altere o proxy para o servidor da web
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Este método pode ser fonte de problemas Tem dois endereços (www.dominio.tld e www2.dominio.tld). Configure www2 (que é o mesmo que www) e defina registros DNS corretos. Em seguida, prepare a versão www do seu site e faça a troca do DNS. Defina o redirecionamento de todas as solicitações no servidor antigo para o subdomínio www2.