Atualmente, isso não é possível e, na verdade, é uma limitação do Elastic Load Balancing (ELB) em uso. Por que a Amazon não permite atribuir um Elastic IP para um Elastic Load Balancer? :
The elastic load balancer is simply a collection of individual software load balancers hosted within EC2, with DNS load balancing traffic among them. The pool can contain many IPs, at least one per availability zone, and depending on traffic levels.
A resposta da D.Svanlunds para Balanceadores de carga e IP elástico fornece um bom resumo de Por que o ELB é projetado dessa forma, e o Elastic "em" Elastic Load "do Shlomo Swidler Equilibrando ”: ELB Elasticity e How to Test it fornece uma análise antecipada, mas profunda da arquitetura ELB e as implicações para testar um aplicativo da Web nesse contexto.
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Em relação ao seu comentário: Você está se comunicando com seu aplicativo AWS Elastic Beanstalk por meio do nome DNS mapeado para o Elastic Load Balancer , para o qual você pode mapear um registro CNAME como sempre, veja Visão geral do Elastic Load Balancing :
Elastic Load Balancing automatically generates a DNS name for each load balancer. You can map any other domain name (such as www.example.com) to the automatically generated DNS name using CNAME or use an Amazon Route 53 alias for the load balancer's DNS name.
Mais detalhes podem ser encontrados em Usando nomes de domínio com balanceamento de carga elástico , que descreve como associar sua instância do Elastic Load Balancing a um nome de domínio personalizado - incluindo nomes de subdomínio e o apex de zona .