Não.
Você não pode ter certeza de que seu e-mail de saída será enviado, pois muitos destinos simplesmente bloqueiam, bloqueiam firewall ou até mesmo nulo roteiam os bloqueios de IP dos principais provedores de nuvem devido ao abuso pesado visto desses intervalos - não apenas do e-mail mas também através de outros serviços.
E mesmo que seu e-mail seja entregue hoje, não há garantia de que continuará sendo entregue no futuro.
Você realmente precisa de um servidor de e-mail fora do Azure (ou EC2 ou qualquer outro) para processar seu e-mail de saída, embora não seja necessariamente necessário ser um servidor de e-mail de terceiros. Se você tem o conhecimento, você pode fazer isso sozinho.
Quando eu coloco um serviço no EC2 que deve ser entregue em uma lista de discussão, descobri que, ao testar, quase 3/4 dos endereços da lista não aceitariam emails de lá. Acabei enviando tudo para um smarthost localizado fora do EC2. Curiosamente, isso também melhorou o desempenho ...
Ter mensagens recebidas no Azure não seria problema, pois os problemas acima não se aplicam.