Você pode executar uma shell bash, que por sua vez executa seu script.
Acabei de testar isso:
screen -d -m bash -c 'vmstat 5 3 2>&1 | tee logfile.log'
que me deu isso:
kenny@t520:~$ cat logfile.log
procs -----------memory---------- ---swap-- -----io---- -system-- ----cpu----
r b swpd free buff cache si so bi bo in cs us sy id wa
1 0 0 5864764 103072 884512 0 0 66 36 1236 1818 17 6 77 0
0 0 0 5864252 103072 884512 0 0 0 0 311 574 1 1 98 0
1 0 0 5861532 103080 884512 0 0 0 4 1244 2302 4 2 94 0
Então, isso deve funcionar também:
screen -d -m bash -c 'script.sh 2>&1 | tee logfile.log'