squid3 é executado como o usuário proxy , portanto, você define o usuário proprietário (e o grupo) como proxy e, em seguida, define as permissões adequadamente.
Você pode fazer o seguinte para alterar recursivamente o proprietário e o grupo de proprietários de todos os arquivos em /var/cache/squid3 para usuário proxy e grupo proxy respectivamente:
sudo chown -R proxy:proxy /var/cache/squid3
Verifique também se o proprietário tem a permissão correta, a permissão que você tem atualmente, por exemplo, 0755 .
No seu caso, como você pode ver, o diretório /var/cache/squid3 é apenas gravável por root , portanto você estava recebendo o erro de permissão negada.