Você pode fazer com que o servidor de banco de dados registre um registro DNS CNAME dinâmico na inicialização.
Eu faço algo semelhante para um servidor que chamaremos de mydb.
(nomes de host e IPs foram alterados para proteger as identidades.)
saída de 'dig mydb.example.net' de fora da AWS
mydb.example.net. 108 IN CNAME ec2-123-45-6-7.compute-1.amazonaws.com.
ec2-123-45-6-7.compute-1.amazonaws.com. 258 IN A 123.45.6.7
saída de 'dig mydb.example.net' de dentro da AWS
mydb.example.net. 108 IN CNAME ec2-123-45-6-7.compute-1.amazonaws.com.
ec2-123-45-6-7.compute-1.amazonaws.com. 258 IN A 10.2.2.2
Observe o tempo limite relativamente baixo (108s) para esse registro CNAME.
Quando o servidor mydb aparece, ALTERA o registro CNAME para apontar para o novo nome dinâmico da AWS.
Outra coisa legal é que, dependendo de você estar fora ou dentro da AWS, você terá uma resposta diferente. (a resposta mais rentável)
Usar um Elastic IP ignora a necessidade de esperar pelo tempo limite de TTL do DNS, o que é bom, mas se você puder viver com um tempo limite de TTL do DNS para abrir um novo servidor de banco de dados (você deve ter um servidor de failover em mydb2). example.net pronto o tempo todo de qualquer maneira, certo?), então esta solução pode funcionar para você.