A AWS não suporta (atualmente) o balanceamento de carga de instâncias do RDS dessa maneira, portanto você precisaria implementar esse tipo de coisa sozinho. Há várias abordagens diferentes que você pode seguir para criar algo assim:
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Como você afirmou, você poderia fazer isso em seu próprio código, o que seria um pouco confuso.
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Você pode tentar usar o DNS round-robin para implementar uma forma básica de balanceamento de carga. Se você não está familiarizado com o DNS round-robin, é basicamente uma maneira de usar o DNS para retornar diferentes endereços IP para cada consulta. Consulte a documentação da Amazon no roteamento ponderado para obter mais informações sobre configurando isso no Route53.
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Você pode incorporar um balanceador simples de proxy / carga como HAProxy ou balance ou em um de seus servidores de aplicativos existentes ou em uma pequena instância separada e permita gerenciar o balanceamento de carga entre as instâncias do RDS.
Provavelmente, há outras opções (incluindo outros aplicativos de balanceamento de carga), mas uma delas provavelmente será a solução mais simples para suas necessidades.