Sem auditoria real ativada, no caso geral, a resposta será que isso não é possível.
Se os usuários com os quais você está preocupado não conseguirem alterar o script, você poderá adicionar facilmente uma função de registro muito simples com a ajuda do comando logger
.
Adicione uma linha como a seguinte ao seu script:
logger Myscript was run by user $USER