Finalmente rastreou a causa de nossos problemas. O Apache foi configurado incorretamente para ter um tempo de espera do Keep Alive por 30 segundos. Isso combinado com um script AJAX excessivamente agressivo estava fazendo com que o site travasse e esperasse por uma conexão.
Transformando KeepAliveTimeout
em 7, bem como domando o script AJAX, tudo voltou ao normal.