Após uma chamada para o suporte do MS, conseguimos resolvê-lo. Não sei se isso é algo que os outros encontrarão, mas, por algum motivo, uma versão muito antiga do Microsoft.SharePoint.ApplicationPages.dll foi carregada no GAC no servidor. Essa DLL deve estar localizada na pasta app_bin de cada aplicativo da Web no farm. Depois que removemos a DLL do GAC, tudo começou a funcionar. Nós não poderíamos encontrar uma razão para o motivo de a DLL estar no GAC, mas o servidor existe desde janeiro de 2007.