Na sua situação, eu simplesmente usaria o ASA como um DHCP que distribui seu IP interno como o servidor DNS, usa o proxy DNS para o DNS do túnel e tem vários DNS públicos listados na configuração.
(estes comandos funcionam no equipamento c3900 ios15.1, você pode ter que fazer alterações para ser compatível com o software ASA)
service dhcp
ip domain nameserver "tunnel dns"
ip domain nameserver 8.8.8.8 ; google dns used for simplicity
ip domain nameserver 8.8.4.4
ip dhcp pool NET-POOL
network 192.168.1.0 255.255.255.0
default-router 192.168.1.1
dns-server 192.168.1.1
domain-name mydomain.net ; not required but helpful
lease 9
ip dhcp excluded-address 192.168.1.1
isso funciona para pequenos escritórios, eu uso em 100 usuários ou menos, mas poderia ser escalado se você tiver o RAM.
A execução de um ip-sla no túnel para saber quando está inativo e usar a rota padrão para apontar para o túnel tornaria a comutação mais rápida e confiável. Apenas certifique-se de ter uma rota estática definida para apontar para a interface externa local ou quando o túnel cair, o asa irá remover a rota padrão e então as coisas podem simplesmente parar de funcionar.