Como já mencionado, o caminho a percorrer é com algum tipo de sistema de bilhética, mas se isso for inaceitável por algum motivo maluco, a melhor solução será ter um "funcionário da bilheteria".
Alguém cuja função é monitorar os tickets recebidos (ou e-mails no seu caso) e atribuí-los adequadamente.
Em ambientes onde não há tíquetes suficientes para justificar uma posição de tempo integral para isso, isso geralmente é feito como parte da função de trabalho de alguém (como um técnico de desktop Nível 1 ou um gerente de TI) ou via rotação (hoje é a vez de Joe monitorar a fila, além de suas tarefas regulares).
Você teria o "funcionário da bilheteria" como o cara que está nessa caixa de entrada compartilhada, atribuindo e-mails ao grupo para agir, enquanto o resto do grupo ficaria de fora, na medida em que isso fosse viável. Em sua caixa de correio compartilhada, por exemplo, você poderia ter um processo em que o atendente "atribuiria" um email a um técnico, encaminhá-lo ao técnico e movê-lo da caixa de entrada para uma pasta como "Atribuído a Joe". uma implementação muito simples.