Primeiro, você precisa usar o caminho completo como:
0 0 * * * /path/to/mysql_backup.sh
Em segundo lugar, você precisa garantir que seu script tenha permissão de execução ou invocá-lo usando:
0 0 * * * /bin/bash /path/to/mysql_backup.sh
Em terceiro lugar, você precisa se certificar de que está executando seu cron job com privilégios suficientes.