Is there any way I can "relay" mail traffic?
Sim.
Is there any way this is possible, and if so how?
Isso geralmente é conhecido como um "smarthost" de e-mail e é um caso de uso muito frequente.
Você precisará escolher um MTA (escolha postfix) e, em seguida, consulte a documentação do MTA para saber como configurar um relé de smarthost.