Existem duas partes para que isso funcione, então vou abordá-las separadamente.
Conectando ao seu servidor:
Como você mencionou que tudo o que você pode conversar é um proxy em 443 e 80, você precisará encapsular sua conexão SSH através do proxy. Você faz isso dizendo a Putty para usar o servidor proxy para se conectar. Sob o menu 'proxy'. Selecione HTTP e insira os detalhes do proxy corporativo.
Do seu post, parece que você tem a conexão funcionando bem.
Configure o Putty para criar um proxy SOCKS na máquina local
Tanto o putty quanto o OpenSSH suportam a abertura de um proxy SOCKS. Para o OpenSSH você usaria:
ssh -D <port>
Em seguida, aponte seu navegador para essa porta. Em putty você cria uma porta 'dinâmica' para a frente. Você vai encontrá-lo no menu Tunnels. Digite sua porta de escuta desejada e, em seguida, insira o que quiser como um destino (ele será ignorado para encaminhamentos dinâmicos). Você pode apontar as configurações de proxy dos navegadores nesse host local: < port > e deve funcionar.
Para mais informações, a parte relevante da documentação está no link .
Como outros já postaram, você pode não querer contornar a filtragem corporativa, já que não é algo que você queira explicar:).