Sem ver mais do seu roteiro, não posso dizer o melhor caminho para suas necessidades específicas. No entanto, esta é uma maneira geral que pode ser adaptada às suas necessidades.
exec > >(while read -r line; do printf '%s %s\n' "$(date --rfc-3339=seconds)" "$line"; done)
Cada linha de texto que é impressa terá o registro de data e hora para a hora em que ocorreu antes. A saída será algo como isto:
2013-09-04 21:32:14-05:00 An event occurred and this is the message
2013-09-04 21:32:37-05:00 Some time passed, another event produced a message