Sua melhor aposta é configurar um servidor e um registro MX secundários para capturar todos os e-mails durante a migração.
Existem muitas empresas que oferecem serviços de hospedagem de registros de Backup ou Secundários MX, alguns gratuitos, outros não. De qualquer forma, todo o propósito é sentar e receber e-mails e entregá-lo à caixa principal do MX quando estiver disponível.
É ideal para sua situação e deve enviar e-mails para seu novo host assim que estiver on-line e disponível. Ainda é melhor migrar esse tipo de coisa no fim de semana ou à noite, quando o volume de tráfego é baixo.