O conteúdo dessa barra verde vem do próprio certificado, que você terá que reemitir para alterá-lo. O atributo O do certificado no assunto (organização), junto com o atributo C (país) determinam o que é exibido. Se eles estiverem ausentes, ele simplesmente exibirá o nome do domínio do assunto principal do certificado.
Além disso, o nome (e geralmente a barra verde) é exibido apenas para certificados EV (validação estendida). Se você não tiver um, normalmente teria apenas o nome do domínio ou nenhuma barra de informações. Como isso é exibido, obviamente depende do navegador; as versões recentes do firefox exibem seu nome de domínio em um plano de fundo verde-azulado na barra de endereço para certificados não-EV, enquanto o chrome exibe apenas um ícone de cadeado e formata "https: //" em verde.
Você não pode obter um certificado EV curinga, portanto, para obter essa funcionalidade na maioria dos navegadores, você precisaria ver se eles emitiriam um certificado EV com cada um de seus subdomínios como nomes alternativos (aquele que assina verisign.com é assim).
Verificar o nome e o número da sua empresa e, normalmente, inspecionar sua identidade pessoal, incorporação e um documento que lhe dê autoridade para agir em nome da corporação são partes esperadas da obtenção de um certificado SSL emitido no nome da empresa.