* Connected to www.edgeoftheweb.co.uk (::ffff:74.117.222.24) port 80
* Connected to api.twitter.com (::ffff:74.117.222.24) port 80
Parece que o curl está usando o ipv6 para conectar enquanto o wget está usando o ipv4
Tente o seguinte
curl --verbose -4 http://api.twitter.com