Como Jason já mencionou, acho que é realmente mais limpo separar o seu MTA e o seu contêiner de backup.
Eu encontrei esse problema há algum tempo (embora eu tentei enviar e-mail do PHP em vez de bash), e eu descobri o exim-sender container, que é basicamente um recipiente simples que atua como um servidor SMTP de saída.
Por que não vincular seu contêiner de backup a um contêiner SMTP desse tipo? Se você, então, use ssmtp , você pode enviar e-mails através do contêiner SMTP. Ou você pode simplesmente usar outro servidor SMTP (externo) se preferir.