Leva tempo para os registros de DNS se propagarem - então, haverá um período em que alguns clientes pensam que o Google é seu MX, enquanto outros podem tentar usar o MX antigo. A menos que você tenha uma configuração muito incomum, seu MTA antigo continuará aceitando e-mails para seu domínio até que você o desative / reconfigure.
Enquanto você pode simplesmente desligar seu servidor, não é necessário. Você deve reduzir o TTL em seus registros DNS antecipadamente se eles forem maiores que uma hora. Apesar do que Lucas diz, você não deve esperar que as alterações no DNS se propaguem em menos de 9 horas, independentemente de quão baixo você tenha definido o TTL.
Configure o fetchmail para recuperar o e-mail do sistema antigo e encaminhá-lo para o novo.
Você não deve recuperar e-mails (pop / imap) usando o registro mx. Você pode continuar acessando o servidor antigo usando seu endereço IP.