Não é possível associar um endereço IP elástico a um gateway de API.
No entanto, mesmo que fosse possível, isso não resolveria seu problema. Isso ocorre porque seu código de execução (Lambda ou uma instância do EC2 nos bastidores) é onde sua lógica está sendo executada. É de lá que você deseja ter um endereço IP fixo que possa ser permitido na lista de permissões.
Isso é possível usando uma instância NAT ou um gateway NAT com um endereço IP elástico.
- Configure um VPC para executar seu código.
- Crie uma sub-rede pública com uma instância NAT ou gateway NAT. Dê a isto um endereço IP elástico.
- Crie uma sub-rede privada que converse com a internet através do gateway NAT.
- Configure suas funções do Lambda ou instâncias do EC2 para executá-las na sub-rede privada.
Se você fizer isso, todas as conexões de saída de suas funções sairão do NAT com o endereço IP fixo. Você pode, então, colocar na lista de permissões o endereço IP elástico.