Você desejará usar a propriedade timestamp nos arquivos em questão. Eu recomendo escrever um script simples no bash algo assim:
#!/bin/bash
for i in 'ls -1 *.log'
do
myfile='ls -l $i | awk '{print ,,}''
if [[ ${myfile% *} = 'Jan 1' ]];
then
echo "Removing ${myfile##* }"
#rm ${myfile##* }
else
echo "Failed to remove file ${myfile##* }"
fi
done
Experimente. Se este script fornecer o que você está procurando, basta remover o caractere "#" na frente do comando RM para executar a operação de exclusão.