Eu absolutamente gostaria de dizer que você precisa ir para uma solução de gerenciamento de configuração, porque eu consideraria essa solução profissional. O meu preferido é Ansible porque é muito fácil de aprender e configurar, e requer apenas acesso ssh aos servidores.
O Ansible tem um módulo git que pode clonar um repo para qualquer diretório que você precise, e você pode copiar uma chave privada facilmente para o novo servidor, se necessário. Ele também tem módulos para copiar arquivos e executar scripts, e praticamente tudo o que você precisa.
Eu criei uma cartilha Ansible para criar servidores em nuvem da Rackspace e configurá-los, incluindo a verificação de um repositório git para código da web e a configuração do nginx para usá-lo como a webfoot.
Eu entendo que você terá que gastar algum tempo para aprendê-lo, mas esse tempo será bem gasto, pois economizará seu tempo no futuro. Você já tem alguns scripts, e portá-los para ansible - mesmo que no início você apenas chame os scripts - é extremamente fácil. Não será um processo de várias semanas para aprender. Comece devagar e construa-o - você não precisa fazer muita coisa de uma só vez.