O problema foi causado pelo fato de que, quando várias solicitações HTTP são transportadas pela mesma conexão TCP, a primeira solicitação passa pelo processo de correspondência acl e pela alternância de contexto para obter um back-end, mas não para as conexões a seguir.
Para corrigir o problema, deve-se seguir um dos seguintes itens na seção frontend:
option httpclose
ou
option http-server-close
O acima funcionou para mim (eu escolhi o último, http-server-close).
Eu achei esta entrada de documentação muito útil: Documentação HAProxy no Google Docs para http-close-server (as outras entradas também são úteis).