O rsyslog deve recriar o arquivo (com as permissões corretas) após a reinicialização:
# mv /var/log/syslog /tmp/
# /etc/init.d/rsyslog restart
[ ok ] Restarting rsyslog (via systemctl): rsyslog.service.
# dir /var/log/syslog
-rw-r----- 1 root adm 327 Oct 27 13:28 /var/log/syslog
Talvez tente forçar uma entrada de registro para garantir que ela esteja em execução:
# /usr/bin/logger -p0 foo
# tail /var/log/syslog
...
Oct 27 13:31:39 myserver root: foo