Atribua um IP elástico à sua instância. Esse IP é seu até que você o libere. Pare, inicie, termine, reatribua a uma instância diferente, você pode fazer o que quiser.
IPs elásticos são gratuitos, mas custam um pouco se não estiverem anexados a uma instância em execução.
Não há como manter o IP público atribuído automaticamente por meio de um ciclo de parada / início.