Encontrou a solução : autenticação básica.
Altere BasicAuthLevel para 2 em HKLM\SYSTEM\CurrentControlSet\Services\WebClient\Parameters
Em seguida, reinicie o serviço do WebClient:
net stop WebClient net start WebClient
Minha configuração do Apache2 para os interessados:
NameVirtualHost *
<VirtualHost *>
ServerAdmin webmaster@localhost
DocumentRoot /var/www/webdav/mounts
<Directory /var/www/webdav/mounts>
Options Indexes MultiViews
AllowOverride None
Order allow,deny
allow from all
</Directory>
Alias /webdav /var/www/webdav/mounts
<Location /webdav>
DAV On
AuthType Basic
AuthName "webdav"
AuthUserFile /var/www/webdav/passwd.dav
Require valid-user
</Location>
</VirtualHost>
Editar: Acabou configurando o WebDAV para usar o Digest, para que ele funcionasse sem modificar o registro no cliente Windows. Publicado aqui caso alguém esteja interessado.