O termo que você está procurando é split dns
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Você executa um servidor DNS interno que todos os clientes da rede local usam. Ele tem os mesmos registros que o seu servidor DNS externo normal, mas para sistemas locais ele tem o endereço IP da LAN em vez do público.
A desvantagem do DNS dividido é problemas com clientes móveis - alguns armazenam em cache o endereço IP da LAN enquanto estão no wifi interno, e quando eles mudam para uma conexão pública com a internet ainda continuam tentando usá-lo. Meu novo celular parece limpar seu cache DNS quando ele alterna as conexões, então isso parece ser um problema menor para dispositivos mais recentes.
A outra opção é habilitar o loopback de NAT em seu roteador. Alguns apenas permitem isso por padrão, outros têm uma opção para isso. Alguns chamam por um nome diferente. Mas basicamente faz com que o seu roteador reconheça que as solicitações para o seu IP público não devem sair para a internet, mas para um servidor local.
A desvantagem do loopback NAT é que todo o tráfego flui pelo seu roteador. Na maioria dos casos, isso não é um problema. Mas, dependendo de como a sua rede está configurada e de quão poderoso é o seu roteador, isso pode causar problemas.