Você precisa fazer isso dentro dos seus arquivos de configuração do Apache. Encontre a definição de vhost para o seu site e defina ou altere o DocumentRoot para apontar para a% diretório/var/www/site
. Defina o ServerName ou ServerAlias apropriadamente também.
EDITAR:
Você precisa configurar registros DNS para www.domain.com e www.myotherdomain.com para apontar para o endereço IP do seu VPS. Você precisa configurar o hosting virtual baseado em nome em seus vps e criar um virtual anfitrião para cada um dos seus domínios.
NameVirtualHost *
<VirtualHost *:80>
Servername www.domain.com
DocumentRoot /var/www/site
...
</VirtualHost>
<VirtualHost *:80>
Servername www.myotherdomain.com
DocumentRoot /var/www/
...
</VirtualHost>
Eu acho que você realmente precisa gastar algum tempo lendo os documentos aos quais me vinculei (e aqueles com os quais eles se conectam) para que você entenda a tecnologia que está usando.