A maneira como resolvi isso foi executar uma instância comum do EC2 e usar o NFS para montar um volume a partir dele na minha instância do Lightsail. Eu não tentei se o EFS funcionar. Certifique-se de ativar o peering VPC nas configurações da conta do Lightsail. Com o emparelhamento de VPC ativado, você pode usar grupos de segurança para permitir que o IP privado da instância do Lightsail se conecte à sua instância do EC2. Para um desempenho ideal, você deve ativar sua instância do EC2 na mesma zona de disponibilidade em que sua instância do Lightsail está sendo executada.
Você pode montar a montagem NFS usando a opção de montagem "fsc" juntamente com cachefilesd para manter um cache na instância do Lightsail. Eu não sei o quanto isso melhora o desempenho ainda.