Eu suponho que você esteja usando --log-file
? Então você pode fazer algo assim:
date='date +%Y-%m-%d'
rsync --log-file=log_file-$date (...)
Ou, em uma única linha, se você colocar isso diretamente no seu crontab:
rsync --log-file=log_file-'date +%Y-%m-%d' (...)