Como muitas das outras postagens que li sobre as pessoas que estavam tendo o mesmo problema, a solução acabou sendo (de alguma forma) não relacionada à instalação do novo certificado SSL.
Resposta curta: Foi necessária a reinicialização de todos os três servidores (balanceador de carga e servidores de conteúdo reais). Isso pareceu finalmente limpar o cache do servidor do certificado antigo.
Resposta longa: um dos servidores de conteúdo do IIS (não o servidor de balanceamento de carga ARR) parecia ter um endereço IP incorreto. Ou seja, o endereço IP estático que havíamos dado estava aparentemente sendo usado em outro lugar na rede. Isso estava fazendo com que o servidor ARR usasse apenas o outro servidor de conteúdo. Tudo isso causou problemas estranhos ao serviço do site em geral (erros ocasionais do 502), que eu estava atribuindo ao novo certificado SSL, e também tornou difícil colocar o site novamente online após uma reinicialização.
Conclusão .... a instalação do novo certificado SSL não era o problema real. Depois que resolvemos o problema real e depois de uma reinicialização de todos os servidores, o problema foi resolvido.