Arquivos e diretórios
Para isso, você tem duas ferramentas com as quais pode começar.
Para os diretórios do usuário, a configuração do Apache e os arquivos Awstats, você pode usar o tar.
# tar cvpzf myfiles.tgz *
Isso copiará subdiretórios, reterá permissões e criará um único arquivo que você poderá descompactar no novo sistema. O que eu não estou certo é como ele irá preservar as permissões do usuário em seu novo servidor se o UID estiver mudando para cada usuário.
Para restaurar o arquivo tar no novo servidor, será algo como isto. Execute-o no diretório atual para o qual você deseja expandir a estrutura de diretórios.
# tar xvpzf myfiles.tgz
Como uma nota lateral, você também pode olhar para o arquivo tar e ver o índice. Isso permite que você verifique como tudo fica dentro do arquivo sem precisar extrair o conteúdo.
# tar xvzf myfiles.tgz
MySQL - mysqldump para backup e restauração
Para o MySQL, não use um atalho aqui. Use mysqldump para fazer um backup de seus bancos de dados e, idealmente, faça um backup para cada banco de dados.
# mysqldump -u [user] -p[password] [database_name] > [database_name].sql
No novo sistema você pode restaurar o arquivo usando o mysqldump também. Apenas certifique-se de que você já tenha criado o banco de dados no novo servidor, pois acho que o backup pode não ter a opção CREATE DATABASE no arquivo de backup do SQL.
# mysqldump -u [user] -p[password] [database_name] < database_name.sql
Boa sorte.