Depois de fazer algumas pesquisas, acabei de perceber que a imagem php7-fpm que estou usando tem alguns usuários embutidos como www-data (compatível com minha configuração de caixa real). Então eu tive que usar a bandeira "--user www-data" junto com o comando para usar o compositor dentro do container e manter os arquivos com as permissões certas.
docker-compose exec --user www-data mycontainer composer install