O Azure não oferece suporte a nada, exceto TCP e UDP fora de uma rede virtual. Por esse motivo, você não poderá usar a saída ping (ICMP). O traceroute também não funcionará (mesmo que os probes de saída usem TCP SYNs ou UDP), pois depende das mensagens Expired ICMP TTL para retornar ao seu host.
Então, o ping e o mtr que você tentou realmente não significam nada. O que você pode tentar, em vez disso, é algo como "nc -vz www.serverfault.com 80", que iria verificar se você pode se conectar em uma porta web. Você deve esperar ver algo como:
$ nc -vz www.serverfault.com 80
Connection to www.serverfault.com 80 port [tcp/www] succeeded!
Quanto às comunicações entre seu aplicativo e seu banco de dados, você incluiu muito poucas informações aqui para solucionar problemas corretamente.
Para alguns indicadores gerais: Se você tivesse servidores de aplicativo e banco de dados nas mesmas redes virtuais do Azure, seria capaz de conversar com seu banco de dados usando os endereços IP internos em sua rede virtual. Como eles não estão na mesma rede virtual, você precisa configurar um ponto de extremidade no servidor de banco de dados e verificar suas Listas de Controle de Acesso (tendo em mente os requisitos de segurança). Essa pergunta pode ser útil: link .